Portaikon monimutkaisuus

Portaiden kiipeämisen algoritmi on varsin yksinkertainen. Kiivetessä otetaan yksi askel, mikäli joka rappusella on käytävä ja algoritminen suunta säilytetään. Ota askel on perussääntö. Täsmennetty ja jo mutkikkaampi sääntö on ota askel ylös tai alas,  mutta ei molempiin suuntiin.

Tämä sääntö tekee portaikosta potenttiaalisen Turingin koneen. Jos sallittaisiin askel molempiin suuntiin, niin portaikko olisi potenttiaalinen rinnakaislaskin tai kietoutunut kvanttikone, jos lisäksi sallittaisiin saman aikainen askel kahteen suuntaan.

Portailla voi tapahtua monen laista ainakin kaikki mitä voi tapahtua askelmittarin, siis luonnollisten lukujen joukossa. Askelmittari voi toimia riippumatta siitä numeroidaanko portaat. Jos vielä merkitään vieraillut portaat ja sallitaan loikkiminen, niin kaikki on mahdollista.

• Voidaan merkitä mikä tahansa porras
• Kulkea mikä tahansa reitti portailla (ylös, alas, loikkien)
• Jättä mikä tahansa joukko portaita käyttämättä(ensimmästä sijaintia lukuunottamatta)

Portaikko on muutoksen mitta. Muutoksen suunta voisi olla ylös, alas ja paikoillaan. Jos askeleen pituutta vaihdetaan 1 - alef-o välillä, niin huomataan, että portaikko on ideana (iso)morfinen luonnollisten lukujen kanssa sillä erotuksella, että mikään rappunen ei oletusarvoisesti ole numeroitu, mutta voidaan numeroida miten tahansa. Nollatta porrasta ei ole ellei sitä valita. Tämä on portaiden valinta-aksiooma.

Porrasaskelma on paikanpitäjä jollekkin, jolla on portaan kategoria eli ominaisuus taso. Askel muutta katergoriasta toiseen. Se on siis kuvaus kategorioiden välillä toiselta toiselle.

Näin synnytimme abstraktit portaat, joka on käsitteenä toinen kuin lukusuora, sillä vasta askel kiinnittää lähtökohdan jälkeisen tilanteen eli ensimmäisen tason. Tilanne on sama kaikilla alkuarvoilla, sillä nollatta askelta ei voida ottaa; se ei johda mihinkään. Portainen algebrassa voidan unohtaa tilanne ennen ensimmäistä askelta.

Portaat on punkteerattu luonnollisten lukujen joukko, joka voidaan takaisin laajentaa luonnollisten lukujen joukoksi, kun ensimmäinen loikka on otettu (mistä tahansa). Muisti on askelmittarissa, portaita ei ole numeroitu etukäteen, joten kaikki tapahtumat portailla ovat evoluutiota.

Täällä abstraktilla rappuskonstruktiolla voidan tehdä kaikkea mitä voidan tehdä luonnollisilla luvuilla, mutta paikanpitäjänä tasolle voidaan antaa mitä tahansa muita ominaisuuksia ja sitoa ne joko portaan tasoon tai askeleeseen tai molempiin.

Varsin kiiinnostava Turinginkone saadaan kehittämällä tasolle ja portaikolle keskenään kietoutunut evoluutio samassa askelavaruudessa. Itseasiassa tämä voi toimia taso- ja askelkategorioiden vuorovaikutusmallina esimekiksi niin, että sekä tasolla ja askelelilla käydään läpi kaikki Penrousen graafiset morfismit eli morfiset funtionaalit.

Ajatuksen yleisyyttä voisi kuvata vaikka siten, että askeleille sallitaan mikä tahansa binääripuu ja tasoille sallitaan abstrakti matriisiakenne. Vuorovaikutuskategoriana toimi silloin mm. matriisin jälki (tasoilla) ja
potenssiin korottaminen askelavaruudessa.

Näille perustoille voidaan rakentaa vuorovaikuttavia Turingin koneita, joista kerron jokusen esimerkin myöhemmin. Eräs niistä on Random Walk askelavaruudessa ja samanaikainen kytketty evoluutio matriiseilla.
Kiinnostava kysymys koskee nollapotentteja tiloja matriisin jäljissä, jolloin kone vastaa ykkösen ja potensiin korottaminen pysähtyy. Tämä kone ei välttämättä koskaan pysähdy ja jos näin käy, niin se laskee välttämättä Chaitingin omegan.

Ihmetellä sopii, että ei mitään niin yksinkertaista, jottei siitä saisi aikaiseksi äärettömän monimutkaista.

Äärettömän kontekstit

John D. Barrow The Infinite Book on kiinnostavaa luettavaa.Siinä tutkitaan ääretöntä monessa kontekstissa.  Muutamia mainitakseni

• mitta
• kardinali
• transfiniitti
• kategoria
• absoluutti

Joukoissa kardinaalit johtavat potensijoukojen kardinaliteetteihin, joista alef-0 toistuvina kahden potensseina alef-1, alef-2 jne johtaa yhä suurempiin kardinaaleihin, joita voi havainnollistaa kakkosen päälle rakennettuina portaina, joiden rappusille alef-luvut sijoitetaan kasvavaksi potenssien torniksi.

Mitä tahansa rajakardinaalia voidaan alhaaltapäin tavoitella kasvattamalla tornin askeleita. Ensimmäisen kertaluvun ääretömässä tornissa on tietystysti alef-o rappusta.

Koska äärettömyydellä on toistettavuus äärettömästi, niin ensimäisen kertaluvun torneista voi pinota toisen kertaluvun torneja ja näistä kolmannen ja aina alef-o kertalukuun saakka ja mitän rajaa ei ole toistaa sitä mikä juuri kuvattiin uudelleen alef-o kertaa ja tietysti vielä toista edellistä loputtomiin (alef-o kertaa).

Näin joukon käsitteestä voidaan jäsentensä kautta lähestyä absoluuttista äärettömyyttä. Ääretömyydellä on saavutettavia ominaisuuksi lukumääräisesti mitaten. Toinen on toistaan aidosti suurempi.

Jatkuvissa joukoissa ääretön saa uusia merkityksiä. Rajoitetussa alueessa voi olla äärettömiä osia, kuten avoimia joukkoja tai fraktaaleita. Näin äärelliselläkin voi olla ääretön osanaan, äärettömällähän se on aina määritelmänkin mukaan.

Myös aritmeettisia laskutoimituksia ja operaattoreita voidaan kohdistaa äärettömiin argumentteihin. Tosin monesti laskutoimituksista tulee impotetteja tämän jälkeen. Esimekriksi lisäämällä 1,2 tai peräti ääretön määrä ykkösiä äärettömään sadaan edelleen ääretön (eikä kardinaalia ylitetä).

Äärettömien joukkojen lisäksi äärettömyys mittana, pättymätön rajankäynti ja singulariteetit ovat kiinnostavia kohteita äärettömän kontekstissa. Toistetavuus, ajallisuus, ikuisuus ja iänkaikkisuus antavat uusia näkökulmia.

Varsin kiinnostavia konteksteja ovat koneet ja algoritmit sekä universumit, monimaailmat ja aikasulkeumat. Ertyisesti Turingin portaikko, jossa kaksiaskelinen universaali Turingin kone kutoo lukutornia lukemalla matriisin  jälkiä ja kirjoitamalla seuraavalle rappuselle edellisen evolutiivisen seuraajan, on hyvin kiinostava laite kaiken (mahdollisen) laskemiseen. Sain tähän idean Barrowin kirjan portaikosta.

Tästä lisää myöhemmin. Barrown kirja sisältää kiinnostavan osan matematiikan ja fysiikan historiaa.