- mitta
- kardinali
- transfiniitti
- kategoria
- absoluutti
Mitä tahansa rajakardinaalia voidaan alhaaltapäin tavoitella kasvattamalla tornin askeleita. Ensimmäisen kertaluvun ääretömässä tornissa on tietystysti alef-o rappusta.
Koska äärettömyydellä on toistettavuus äärettömästi, niin ensimäisen kertaluvun torneista voi pinota toisen kertaluvun torneja ja näistä kolmannen ja aina alef-o kertalukuun saakka ja mitän rajaa ei ole toistaa sitä mikä juuri kuvattiin uudelleen alef-o kertaa ja tietysti vielä toista edellistä loputtomiin (alef-o kertaa).
Näin joukon käsitteestä voidaan jäsentensä kautta lähestyä absoluuttista äärettömyyttä. Ääretömyydellä on saavutettavia ominaisuuksi lukumääräisesti mitaten. Toinen on toistaan aidosti suurempi.
Jatkuvissa joukoissa ääretön saa uusia merkityksiä. Rajoitetussa alueessa voi olla äärettömiä osia, kuten avoimia joukkoja tai fraktaaleita. Näin äärelliselläkin voi olla ääretön osanaan, äärettömällähän se on aina määritelmänkin mukaan.
Myös aritmeettisia laskutoimituksia ja operaattoreita voidaan kohdistaa äärettömiin argumentteihin. Tosin monesti laskutoimituksista tulee impotetteja tämän jälkeen. Esimekriksi lisäämällä 1,2 tai peräti ääretön määrä ykkösiä äärettömään sadaan edelleen ääretön (eikä kardinaalia ylitetä).
Äärettömien joukkojen lisäksi äärettömyys mittana, pättymätön rajankäynti ja singulariteetit ovat kiinnostavia kohteita äärettömän kontekstissa. Toistetavuus, ajallisuus, ikuisuus ja iänkaikkisuus antavat uusia näkökulmia.
Varsin kiinnostavia konteksteja ovat koneet ja algoritmit sekä universumit, monimaailmat ja aikasulkeumat. Ertyisesti Turingin portaikko, jossa kaksiaskelinen universaali Turingin kone kutoo lukutornia lukemalla matriisin jälkiä ja kirjoitamalla seuraavalle rappuselle edellisen evolutiivisen seuraajan, on hyvin kiinostava laite kaiken (mahdollisen) laskemiseen. Sain tähän idean Barrowin kirjan portaikosta.
Tästä lisää myöhemmin. Barrown kirja sisältää kiinnostavan osan matematiikan ja fysiikan historiaa.
